Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx+3過點A（-3，0），B（-1，0），與y軸相交于點C，⊙O₁經(jīng)過A，B，C三點，與拋物線相交于另一點D．
（1）求拋物線的解析式及對稱軸；
（2）求圓心O₁的坐標；
（3）點E為拋物線對稱軸上的一點，在拋物線上存在點F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形，求出所有點F的坐標；
（4）在（3）的情況下，當四邊形AEBF恰好是正方形時，求出它的邊長．

Answer 1

分析 （1）將已知點的坐標代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）過O₁作O₁H⊥x軸得到O₁的橫坐標為-2，設O₁（-2，y），過C作CQ⊥HO₁，利用勾股定理得到O₁H²+HB²=O₁Q²+QC²，從而得到y(tǒng)²+1²=（3-y）²+2²，
解得：y=2后即可得到O₁的坐標；
（3）設F（x，x²+4x+3），分若E、F在AB的同側和若E、F在AB的異側，則F與拋物線的頂點重合兩種情況即可求得點F的坐標；
（4）當E、F在AB的兩側時，根據(jù)四邊形AFBE是平行四邊形，AB⊥EF，F(xiàn)₃（-2，-1）得到EF=2，然后根據(jù)AB=2得到四邊形AEBF是正方形，求得BF=$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3過點A（-3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3，對稱軸為直線x=-2；

（2）過O₁作O₁H⊥x軸，
∴AH=HB，
∵OB=1，AB=2，
∴OH=2，
∴O₁的橫坐標為-2，
設O₁（-2，y）過C作CQ⊥HO₁，
∵O₁B=O₁C，
∴O₁H²+HB²=O₁Q²+QC²，
∴y²+1²=（3-y）²+2²，
解得：y=2，
∴O₁（-2，2）；

（3）設F（x，x²+4x+3），
①若E、F在AB的同側，則EF=AB=2，
∵點E在拋物線的對稱軸上，
∴|x+2|=2，
∴x=0或x=-4，
∴F₁（0，3），F(xiàn)₂（-4，3）；
②若E、F在AB的異側，則F與拋物線的頂點重合，即F₃（-2，-1），
∴存在點F₁（0，3），F(xiàn)₂（-4，3），F(xiàn)₃（-2，-1），
∴A、B、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形；

（4）當E、F在AB的兩側時，
∵四邊形AFBE是平行四邊形，AB⊥EF，F(xiàn)₃（-2，-1），
∴EF=2，
又∵AB=2，
∴四邊形AEBF是正方形，
∴BF=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．