Question

19．如圖，一次函數y=kx+2的圖象與反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象交于點P，點P在第一象限，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，一次函數的圖象分別交x軸、y軸于點C、D，且S_△PBD=4，$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求一次函數與反比例函數的解析式；
（2）已知點M在兩條坐標軸上，直接寫出能使△PDM成為等腰三角形的點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由BP∥OA得Rt△PBD∽Rt△DOC，又$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{OC}{PB}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，故BD=4，AP=4+2=6，由S_△PBD=4可得BP=2，把P（2，6）分別代入y=kx+2與y=$\frac{m}{x}$可得一次函數解析式為：y=2x+2反比例函數解析式為：y=$\frac{12}{x}$；
（2）在R_t△PBD中，求得PD=$\sqrt{B{D}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，①當點M在x軸上時，設M（m，0），當PD=DM=2$\sqrt{5}$和PM=DM時分別求得結果，②當點M在y軸上時，設M（0，m），當PD=PM=2$\sqrt{5}$，當PD=DM=2$\sqrt{5}$分別求得結果．

解答 解：（1）∵BP∥OA，
∴∠CDO=∠PDB，∠COD=∠CAP，
∴Rt△PBD∽Rt△DOC，
∵$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，OD=2，
∴BD=4，
∴AP=6，
∴由S_△PBD=$\frac{1}{2}$BP•BD=4，可得BP=2，
∴P（2，6）把P（2，6）分別代入y=kx+2與y=$\frac{m}{x}$可得
一次函數解析式為：y=2x+2，
反比例函數解析式為：y=$\frac{12}{x}$；

（2）在R_t△PBD中，PD=$\sqrt{B{D}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由△PDM為等腰三角形，
①當點M在x軸上時，設M（m，0），
當PD=DM=2$\sqrt{5}$，
∴m²+2²=（2$\sqrt{5}$）²，解得：m=±4，
∴M（-4，0），（4，0），
當PM=DM，
∴PA²+MA²=OD²+OM²
即6²+（m-2）²=2²+m²，解得：m=9，
∴M（9，0），
②當點M在y軸上時，設M（0，m），
當PD=PM=2$\sqrt{5}$，∴BM=BD=4，
∴M（0，10），
當PD=DM=2$\sqrt{5}$，∴OM=2+2$\sqrt{5}$，或OM=2-2$\sqrt{5}$，
∴M（0，2+2$\sqrt{5}$），（0，2-2$\sqrt{5}$），
綜上所述：能使△PDM成為等腰三角形的點M的坐標為：（-4，0），（4，0），（9，0），（0，10），（0，2+2$\sqrt{5}$），（0，2-2$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查了反比例函數和一次函數解析式的確定、圖形的面積求法、相似三角形的判定和性質，注意分類討論思想的應用．