Question

13．如圖，菱形ABCD的周長為20cm，DE⊥AB，垂足為E，AE：DE=4：3，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（　　）
①DE=3cm；②BE=1cm；③S_菱形=15cm²；④AC=2$\sqrt{10}$cm．

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 連接AC交BD于O，由菱形的性質(zhì)求出邊長，設(shè)AE=4x，DE=3x，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出x，得出AE、DE，由菱形的面積=底×高，求出菱形的面積；根據(jù)勾股定理求出BD，得出OD，再由勾股定理求出OA，得出AC，即可得出結(jié)論．

解答 解：連接AC交BD于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周長為20cm，
∴AD=AB=5cm，
∵DE⊥AB，AE：DE=4：3，
則∠AED=90°，
設(shè)AE=4xcm，DE=3xcm，
根據(jù)勾股定理得：（4x）²+（3x）²=5²，
解得：x=1，
∴AE=4cm，DE=3cm，
∴BE=5-4=1，S_菱形=AB•DE=5×3=15（cm²），
∴①②③正確；
在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得：BD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△AOD中，OA=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴AC=2OA=3$\sqrt{10}$，
∴④不正確；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、菱形面積的計算；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．