Question

5．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AB=a，將紙片沿對角線BD對折，BC邊與AD邊交于點(diǎn)F，此時(shí)AF=BF=AB．
求：（1）BC的長；
（2）重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，即可得到∠E=∠EFD，進(jìn)而得出DE=DF=a，即AD=2a，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，即可得到BC=AD=2a；
（2）先過BG⊥AD于G，求得BG=$\sqrt{3}$AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，再根據(jù)S_△BDF=$\frac{1}{2}$DF×BG進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）由折疊可得，DE=DC=AB=a，∠C=∠E=∠A，
∵AF=BF=AB，
∴△ABF是等邊三角形，
∴∠A=∠AFB=∠DFE，AF=AB=a，
∴∠E=∠EFD，
∴DE=DF=a，
∴AD=2a，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=2a；

（2）過BG⊥AD于G，則∠ABG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
∴BG=$\sqrt{3}$AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}$DF×BG=$\frac{1}{2}$a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
即重疊部分的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．

點(diǎn)評 本題主要考查了折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．