Question

3．如圖，△ABC是邊長為2$\sqrt{3}$的等邊三角形，已知G是邊AB上的一個動點(diǎn)（G點(diǎn)不與A，B點(diǎn)重合），且GE∥AC，GF∥BC，若AG=x，S_△GEF=y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（2）點(diǎn)G在運(yùn)動過程總，能否使△GEF成為直角三角形？若能，請求出AG長度；若不能，請說明理由；
（3）點(diǎn)G在運(yùn)動過程中，能否使四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形？若能，直接寫出S_△GEF的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）依題意，得：△AFG、△BEG為等邊三角形，所以有FG=AG=x，EG=BG=2$\sqrt{3}$-x，∠EGF=60°，由三角形的面積定理即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）知∠EGF=60°，需分類討論：∠EFG=90°，∠FEG=90°，兩種情況，由含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)論；
（3）若四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形時，易證△AFG，△BEG，△CEF，△EFG是全等的等邊三角形，易求S_△GEF．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，GF∥BC，
∴∠AGF=∠B=60°，
∴△AFG是等邊三角形，
同理△BEG為等邊三角形，
∴FG=AG=x，EG=BG=2$\sqrt{3}$-x，∠EGF=60°，
y=$\frac{1}{2}x（2\sqrt{3}-x）sin60°$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$，定義域：（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）若∠EFG=90°，又∠EGF=60°，所以，有x=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$-x），解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
若∠FEG=90°，則$\frac{1}{2}x=2\sqrt{3}-x$，解得：x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以，能使△GEF成為直角三角形，AG的長為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（3）若四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形時，
由（1）△AFG和△BEG為等邊三角形，
∴△CEG是等邊三角形，
∴∠EFG=∠FEG=60°，
∴△EFG為等邊三角形，
∴EF=FG=AG=GB=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$，
∴S_AGEF=$\frac{1}{2}FG•EGsin60°$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積定理，平行四邊形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，能靈活應(yīng)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時注意分類思想的應(yīng)用．