Question

8．平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標(biāo)分別為（0，3）、（-1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A'B'OC'．
（1）若拋物線過點C，A，A'，求此拋物線的解析式；
（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A'B'OC'重疊部分△OC'D的周長；
（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點M在何處時；△AMA'的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得A′點，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）∵?A′B′O′C′由?ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且A的坐標(biāo)為（0，3），得
點A′的坐標(biāo)為（3，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A，A′C的坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=3}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3；

（2）∵AB∥OC，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
又∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，又OC′=OC=1，
∴$\frac{△C′OD的周長}{△BOA的周長}$=$\frac{OC′}{OB}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
又△ABO的周長為4+$\sqrt{10}$，
∴△C′OD的周長為$\frac{（4+\sqrt{10}）\sqrt{10}}{10}$=1+$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
（3）
作MN⊥x軸交AA′于N點，
設(shè)M（m，-m²+2m+3），
AA′的解析式為y=-x+3，N點坐標(biāo)為（m，-m+3），MN的長為-m²+3m，
S_△AMA′=$\frac{1}{2}$MN•x_A′=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3
=-$\frac{3}{2}$（m²-3m）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵0＜m＜3，∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，-m²+2m+3=$\frac{15}{4}$，M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
△AMA′的面積有最大值$\frac{27}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)；解（3）的關(guān)鍵是利用面積的很差得出二次函數(shù)．