Question

10．如圖1，平行四邊形ABCD中，AD=BD，∠A=30°，DE=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)E在AB邊上且∠AED=45°．
（1）求∠BDE的度數(shù)；
（2）將圖1中的△BED繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°）得到△BE′D′．
①當(dāng)點(diǎn)E′恰好落在BD邊上時(shí)，如圖2所示，連接D′D并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F．求證：AF=BE′；
②在△BED旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)∠BAD′最大時(shí)，求線段AD′的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABD，再用三角形的外角即可得出結(jié)論；
（2）①先求出∠BDD=75°，利用三角形的外角得出∠BFD=45°，進(jìn)而得出∠AFD=∠BED=135°，即可判斷出△ADF≌△DBE（ASA），即可；
②先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出DF，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AD=BD=4，AB=2AF=4$\sqrt{3}$，
最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AD=BD，∠A=30°，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠AED=45°，
∴∠BDE=∠AED-∠ABD=45°-30°=15°，
（2）①如圖1，連接D'D并延長(zhǎng)交AB于F，
由旋轉(zhuǎn)知，∠DBD'=∠ABD=30°，BD'=BD，
∴∠BDD'=$\frac{1}{2}$（180°-∠DBD'）=75°，
∴∠BFD'=∠BDD'-∠ABD=75°-30°=45°（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和）
∵∠AED=45°，
∴∠BFD'=∠AED，
∵∠AFD+∠BFD'=180°，∠AED+∠BED=180°，
∴∠AFD=∠BED=135°，
在△ADF和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠BED=135°}\\{∠A=∠EBD}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DBE（ASA），
∴AF=BE，由旋轉(zhuǎn)知，BE'=BE，
∴AF=BE'；
②如圖2，
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，
在Rt△DEG中，∠AED=45°，DE=2$\sqrt{2}$，
∴DG=2，
在Rt△ADG中，∠BAD=30°．DG=2，
∴AD=4，AG=2$\sqrt{3}$，
∵AD=BD=4，DG⊥AB，
∴AB=2AG=4$\sqrt{3}$，
∵△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)D是以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑的圓，
∴AD'與⊙B相切時(shí)，∠BAD'最大，
∴∠AD'B=90°，
由旋轉(zhuǎn)知，BD'=BD=4，
在Rt△ABD'中，BD'=4．AB=4$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得，AD'=$\sqrt{A{B}^{2}-BD{'}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解（1）的關(guān)鍵是求出∠ABD的度數(shù)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出∠AFD=∠BED=135°，解（3）的關(guān)鍵是判斷出AD與圓B相切時(shí)，∠BAD'最大．