Question

8．如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，以O為圓心，OA為半徑的圓交AB于D，延長AO交⊙O于點E，連接CE、CD，若CD是⊙O的切線，解答下列問題：
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若BC=3，CE=4，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接OE，交OC于點F，利用三角形相似的性質，勾股定理求得OF，進一步利用三角形的中位線求出即可．

解答 （1）證明：∵CE是⊙O的切線，
∴∠OEC=90°，
如圖1，連接OD，

∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OD}\\{∠EOC=∠DOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，連接OE，交OC于點F，

∵OE=OA=BC=3，CE=4，∠OEC=90°，
∴OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∵OE•CE=OC•EF，
∴EF=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴OF=$\sqrt{O{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∵CD、CE是⊙O的切線，
∴OC垂直平分DE，
∵點O是AE的中點，F(xiàn)是DE的中點，
∴AD=2OF=$\frac{18}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質和判定，勾股定理，三角形的中位線定理，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．