Question

17．為了推進節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟，溫州市某公司以 25萬元購得某項節(jié)能產品的生產技術后，再投入100萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工，已知生產這種產品的成本價為每件20元，經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)，該產品的年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式為y=25-0.5x，其中銷售單價不低于25元且不高于45元．（第一年年獲利=年銷售收入-生產成本-投資成本，第二年年獲利=年銷售收入-生產成本）
（1）當銷售單價定為28元時，該產品的年銷售量為多少萬件？
（2）求該公司第一年的年獲利w（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式，由于投資金額較大，投資的第一年，該公司最小虧損是多少萬元？并求此時的銷售單價為多少元？
（3）填空：第二年，該公司決定給希望工程捐助款m萬元，該項捐助款由兩部分組成：一部分為10萬元的固定捐款，另一部分則為每銷售一件產品，就抽出一元錢作為捐款，若除去第一年的最小虧損金額以及第二年的捐助款后，到第二年年底，兩年的總盈利等于67.5萬元，請你確定第二年銷售單價x的值為41或30．

Answer 1

分析 （1）因為25＜28＜45，所以把x=28代入y=25-0.5x即可求出該產品的年銷售量為多少萬件；
（2）由y于x的函數(shù)關系式和年獲利=年銷售收入-生產成本-投資成本，得到w和x的二次函數(shù)關系，再有x的取值范圍不同分別討論即可知道該公司是盈利還是虧損；
（3）由題目的條件得到w和x的函數(shù)關系式，當w=67.5，求出x的值即可．

解答 解：（1）∵25＜28＜45，
∴把x=28代入y=25-0.5x得，
∴y=11（萬件），
答：當銷售單價定為28元時，該產品的年銷售量為11萬件；
（2）①當 25≤x≤45時，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100=-$\frac{1}{2}$x²+35x-625=-$\frac{1}{2}$（x-35）²-12.5
故當x=35時，W最大為-12.5，即公司最少虧損12.5萬；
答：投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬；
（3）根據(jù)題意，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10=-0.5x²+35.5x-547.5，
令W=67.5，則-0.5x²+35.5x-547.5=67.5，
化簡得：x²-71x+1230=0，
解得：x₁=30；x₂=41，
此時，兩年的總盈利等于67.5萬元．
故答案為：41或30．

點評 本題主要考查二次函數(shù)在實際中應用，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要弄懂題意，確定變量，建立函數(shù)模型解答，其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值．