Question

4．已知長方形ABCD的邊長AB=9，AD=3，現(xiàn)將此長方形置于平面直角坐標系中，使AB在x軸的正半軸上，經(jīng)過點C的直線y=$\frac{1}{2}$x-2與x軸交于點E，與y軸交于點F．
（1）求點E、B的坐標；
（2）求四邊形AECD的面積；
（3）在y軸上是否存在一點P，使△PEF為等腰三角形？若存在，則求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對于直線y=$\frac{1}{2}$x-2，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出E與F坐標，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，得到對邊相等，求出BC的長，即為C縱坐標，代入直線解析式求出C橫坐標，即可確定出B坐標；
（2）由B與E的橫坐標之差求出EB的長，四邊形AECD面積=矩形ABCD面積-三角形ECB面積，求出即可；
（3）在y軸上存在一點P，使△PEF為等腰三角形，如圖所示，分三種情況考慮：若P₁F=EF；若EF=P₂F；若P₃F=P₃E；分別求出P的坐標即可．

解答 解：（1）對于直線y=$\frac{1}{2}$x-2，
令x=0，得到y(tǒng)=-2；令y=0，得到x=4，
∴E（4，0），F(xiàn)（0，-2），
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD=3，DC=AB=9，
把y=3代入直線y=$\frac{1}{2}$x-2，得：x=10，即B（10，0）；
（2）∵E（4，0），B（10，0），
∴EB=10-4=6，
∴S_{四邊形AECD}=S_矩形ABCD-S_△ECB=9×3-$\frac{1}{2}$×6×3=27-9=18；
（3）存在，如圖所示，分三種情況考慮：
若P₁F=EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OP₁=OF+P₁F=2+2$\sqrt{5}$，
此時P₁（0，-2-2$\sqrt{5}$）；
若EF=P₂F=2$\sqrt{5}$，
∴OP₂=P₂F-OF=2$\sqrt{5}$-2，
此時P₂（0，2$\sqrt{5}$-2）；
若P₃F=P₃E，此時P₃在線段EF垂直平分線上，
線段EF垂直平分線為y+1=-2（x-2），即y=-2x+3，
令x=0，得到y(tǒng)=3，此時P₃（0，3），
綜上，在y軸上存在一點P，使△PEF為等腰三角形，此時P的坐標為（0，-2-2$\sqrt{5}$）或（0，2$\sqrt{5}$-2）或（0，3）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及線段垂直平分線性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關鍵．