Question

6．觀察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…
（1）請直接寫出$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$的結(jié)果，并證明這個(gè)等式．
（2）根據(jù)（1）中的等式計(jì)算：
①$\frac{13}{143}$-$\frac{13}{144}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{99×100}$；
（3）先化簡，再求值：$\frac{100}{1×2}$+$\frac{100}{2×3}$+$\frac{100}{3×4}$+…$\frac{100}{n（n+1）}$，其中n=999．

Answer 1

分析 （1）通過前面的等式的特點(diǎn)，直接得到結(jié)果，利用分式的加減證明結(jié)論；
（2）利用等式的變形計(jì)算各題；
（3）提出100后，利用（1）的結(jié)論代入求值．

解答 解：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$．
證明：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n+1}{n（n+1）}-\frac{n}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）
①$\frac{13}{143}$-$\frac{13}{144}$
=13（$\frac{1}{143}-\frac{1}{144}$）
=13×$\frac{1}{143×144}$
=$\frac{1}{1584}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{99×100}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$
=1-$\frac{1}{100}$
=$\frac{99}{100}$．
（3）$\frac{100}{1×2}$+$\frac{100}{2×3}$+$\frac{100}{3×4}$+…$\frac{100}{n（n+1）}$
=100（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$）
=100（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=100（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{100n}{n+1}$
當(dāng)n=999時(shí)，原式=$\frac{999×100}{999+1}$
=$\frac{999}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了等式變形及應(yīng)用．靈活運(yùn)用$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$是解決本題的關(guān)鍵．