Question

18．平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3），任意三點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上，過(guò)任意三點(diǎn)作三角形，一共能作多少個(gè)不同的三角形？
（1）分析：當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作1個(gè)三角形；
當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作4個(gè)三角形；
當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作10個(gè)三角形…
（2）歸納：點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可以作出三角形的個(gè)數(shù)S_n的關(guān)系為$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$．

Answer 1

分析 順次連接不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)可作1個(gè)三角形；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作4個(gè)三角形；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作10個(gè)三角形；依此類(lèi)推當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$個(gè)三角形．

解答 解：當(dāng)n=3時(shí)，可作出的三角形的個(gè)數(shù)S₃=$\frac{3×2×1}{6}$=1；
當(dāng)n=4時(shí)，可作出的三角形的個(gè)數(shù)S₄=$\frac{4×3×2}{6}$=4；
當(dāng)n=5時(shí)，可作出的三角形的個(gè)數(shù)S₅=$\frac{5×4×3}{6}$=10；
當(dāng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是n時(shí)，可作出的三角形的個(gè)數(shù)S_n=$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$．
∴Sn=$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$．
（1）故答案為：1，4，10；
（2）故答案為：$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了規(guī)律總結(jié)，運(yùn)用由特殊到一般的方法，進(jìn)行歸納總結(jié)，解題的關(guān)鍵是能夠得到三角形個(gè)數(shù)與n的值的通項(xiàng)公式，難度不大．