Question

19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A，∠B、∠C的對(duì)邊，若關(guān)于x的方程c（x²+1）-2$\sqrt{2}$bx-a（x²-1）=0的兩根平方和為10，求$\frac{a}$的值．

Answer 1

分析 將原方程整理為一元二次方程的一般形式，設(shè)方程兩根為x₁，x₂，再根據(jù)兩根平方和為10，列出等式并變形，將兩根關(guān)系整體代入即可．

解答 解：原方程整理為（c-a）x²-2$\sqrt{2}$bx+（c+a）=0，
設(shè)x₁，x₂是方程的兩個(gè)根，則x₁²+x₂²=10，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
把方程根公式代入，得（$\frac{2\sqrt{2}b}{c-a}$）²-2×$\frac{c+a}{c-a}$=10，即4b²-（c²-a²）=5（c-a）²，
由勾股定理得：c²-a²=b²，代入以上方程整理后有
3b²=5（c-a）²．
∵c是斜邊，
∴c＞a，兩邊開平方，得$\sqrt{3}$b+$\sqrt{5}$a=$\sqrt{5}$c，
兩邊同時(shí)平方得，
3b²+5a²+2$\sqrt{15}$ab=5c²，
再次將勾股定理代入得，
3b²+5a²+2$\sqrt{15}$ab=5a²+5b²，
2b²=2$\sqrt{15}$ab，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的邊角關(guān)系，根與系數(shù)關(guān)系，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意得出x₁²+x₂²=10，將等式變形，將根與系數(shù)關(guān)系代入，結(jié)合勾股定理求解．