Question

5．如圖，△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，E、F分別為AC、AB的中點，過E、F兩點作⊙O，延長AC交⊙O于D．若∠CDO=$\frac{1}{2}$∠B，則⊙O的半徑為（　�。�

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 連接OF交BC于G，連接OE，證明BG=BF═$\frac{5}{2}$，CG=$\frac{3}{2}$，根據(jù)EF∥BC，得到$\frac{CD}{DE}$=$\frac{CG}{EF}$，求出CD的長，根據(jù)勾股定理求出直徑DF，得到半徑．

解答 解：連接OF交BC于G，連接OE，
∵E、F分別為AC、AB的中點，∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC=2，EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE，
∵EF∥BC，
∴∠DEF=∠DCB=90°，
∴DF為直徑，
∴∠BGF=∠OFE，
∵∠D=$\frac{1}{2}$∠EOF，∠CDO=$\frac{1}{2}$∠B，
∴∠EOF=∠B，
∴∠OEF=∠BFG，
∴∠BGF=∠BFG，
∴BG=BF=$\frac{5}{2}$，CG=$\frac{3}{2}$，
∵EF∥BC，
∴$\frac{CD}{DE}$=$\frac{CG}{EF}$，
∴CD=3CE=$\frac{9}{2}$，
在Rt△DFE中，EF=2，DE=6，
DF=2$\sqrt{10}$，OD=$\sqrt{10}$．
故選：C．

點評 本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理、圓周角與圓心角的關(guān)系定理，正確作出輔助線、構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵，注意平行線分線段成比例定理的應(yīng)用．