Question

10．設x₁、x₂是一元二次方程2x²-5x-1=0的兩根，求下列代數式的值．
（1）x₁²x₂+x₂²x₁（2）x₁²+x₂²-3x₁x₂（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（4）|x₁-x₂|

Answer 1

分析 根據根與系數的關系得到x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，再利用代數式變形得到（1）x₁²x₂+x₂²x₁=x₁x₂（x₁+x₂）；（2）x₁²+x₂²-3x₁x₂=（x₁+x₂）²-5x₁x₂； （3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；（4）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整體代入的方法計算即可．

解答 解：∵x₁、x₂是一元二次方程2x²-5x-1=0的兩根，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）x₁²x₂+x₂²x₁=x₁x₂（x₁+x₂）=-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{4}$；
（2）x₁²+x₂²-3x₁x₂=（x₁+x₂）²-5x₁x₂=（$\frac{5}{2}$）²-5×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{35}{4}$；
（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{5}{2}）^{2}-2×（-\frac{1}{2}）}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{29}{2}$；
（4）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{\sqrt{33}}{2}$．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．