Question

14．如圖，ABCD為正方形，O為AC、BD的交點(diǎn)，△DCE為Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，則正方形的面積為（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于N，判斷出四邊形OMEN是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OC=OD，然后利用“角角邊”證明△COM和△DON全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OM=ON，然后判斷出四邊形OMEN是正方形，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得DE=$\frac{1}{2}$CD，再利用勾股定理列式求出CE，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出OC=OD=$\sqrt{2}$a，然后利用四邊形OCED的面積列出方程求出a²，再根據(jù)正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于N，
∵∠CED=90°，
∴四邊形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COM=∠DON}\\{∠N=∠CMO=90°}\\{OC=OD}\end{array}\right.$
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四邊形OMEN是正方形，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，
∵∠DCE=30°，∠CED=90°
∴DE=a，CE=$\sqrt{3}$a，
設(shè)DN=x，x+DE=CE-x，解得：x=$\frac{（\sqrt{3}-1）a}{2}$，
∴NE=x+a=$\frac{（\sqrt{3}+1）a}{2}$，
∵OE=$\sqrt{2}$NE，
∴$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$•$\frac{（\sqrt{3}+1）a}{2}$，
∴a=1，
∴S_{正方形ABCD}=4
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．