Question

7．如圖，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B為⊙O上一點(diǎn)，滿足BC∥OP．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，求sin∠APB的值．

Answer 1

分析 （1）連接OB，證明△AOP≌△BOP，得出對(duì)應(yīng)角相等，∠OBP=∠OAP=90°，即可得出結(jié)論；
（2）連接AB交OP于點(diǎn)M，過(guò)A作AB⊥BP于點(diǎn)Q，先求出cos∠BAP=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{3}{5}$，令A(yù)M=3，AP=5，得出PM=4，AB=5，BP=6，根據(jù)面積求出AQ，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OB；如圖所示：
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵OP∥BC，
∴∠1=∠C，∠2=∠3，
∵OC=OB，
∴∠C=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOP和△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥BP，且OB為半徑，
∴PB是⊙O的切線；
（2）連接AB交OP于點(diǎn)M，過(guò)A作AQ⊥BP于點(diǎn)Q；如圖所示：
∵AP、BP為⊙O的切線，
∴PA=PB，
∵AO=BO，
∴OP垂直平分AB，
∵AC為直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠CAB=90°，
∵∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠C=∠BAP，
∴cos∠BAP=cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，
∵AB⊥OP，
∴∠AMP=90°，
∴cos∠BAP=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
令A(yù)M=3，AP=5，
∴PM=4，AB=5，BP=6，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AQ•BP=$\frac{1}{2}$AB•PM，
∴AQ=$\frac{AB•PM}{BP}$=$\frac{24}{5}$，
∵AQ⊥BP，
∴∠AQP=90°，
∴sin∠APB=$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{\frac{24}{5}}{5}$=$\frac{24}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、三角形面積的計(jì)算方法；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．