Question

11．如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于點(diǎn)D，P為對(duì)稱(chēng)軸l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）以點(diǎn)B為圓心，BP為半徑作⊙B，當(dāng)直線AP與⊙B相切時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）在（1）中的拋物線上求點(diǎn)M，使得△ACM是以AC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）直接利用交點(diǎn)式將點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），代入求出即可；
（2）利用切線的性質(zhì)得出DP垂直平分AB，即DP是△ABP斜邊中線，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用當(dāng)MA⊥AC以及MC⊥AC進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出即可．

解答 解：（1）由題意得：y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3；

（2）如圖1，
∵直線AP與⊙B相切，
∴AP⊥BP，
∵DP垂直平分AB，即DP是△ABP斜邊中線，
∴DP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴P（1，2）或（1，-2）

（3）兩種情況，設(shè)M（m，m²-2m-3），
如圖2，過(guò)A作AM⊥AC交拋物線于點(diǎn)M，作MN⊥x軸于點(diǎn)N，
∴∠MAN+∠CAO=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠CAO=∠AMN，
∵∠AOC=∠MNA=90°，
∴△AOC∽△MNA，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{MN}{AN}$，即$\frac{1}{3}$=$\frac{{m}^{2}-2m-3}{m+1}$，
解得：m₁=-1（舍），m₂=$\frac{10}{3}$，
∴M（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$），
如圖3，
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AC交拋物線于點(diǎn)M，作MN⊥y軸于點(diǎn)N，
∴∠ACO+∠OAC=90°，∠ACO+∠NCM=90°，
∴∠OAC=∠NCM，
又∵∠AOC=∠CNM=90°，
∴△AOC∽△CNM，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{NC}{MN}$，即，$\frac{1}{3}$=$\frac{3-（-{m}^{2}+2m+3）}{m}$，
解得m₁=0，m₂=$\frac{7}{3}$，
∴M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
綜上，在拋物線上存在點(diǎn)M（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$），使得△ACM是以AC為直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．