Question

18．如圖，拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m．
（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)水面下降1rm，請(qǐng)求出此時(shí)水面的寬度是多少？
（3）設(shè)當(dāng)水面寬為w，此時(shí)拱頂離水面h，請(qǐng)求出w與h的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）以AB所在直線為x軸、AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由圖可得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax²+2，將A（-2，0）代入求得函數(shù)解析式，繼而可求得y=-1時(shí)x的值，從而得出答案；
（3）根據(jù)題意可知，根據(jù)x=$\frac{1}{2}$w時(shí)，拱頂離水面h=2-y可得答案．

解答 解：（1）如圖，以AB所在直線為x軸、AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2）；

（2）設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax²+2，代入A點(diǎn)坐標(biāo)（-2，0），
得出：a=-0.5，
∴拋物線解析式為y=-0.5x²+2，
當(dāng)y=-1時(shí)，-0.5x²+2=-1，
解得：x=-$\sqrt{6}$或x=$\sqrt{6}$，
∴當(dāng)水面下降1m，此時(shí)水面的寬度是2$\sqrt{6}$m；

（3）根據(jù)題意，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$w時(shí)，y=-0.5×（$\frac{1}{2}$w）²+2=-$\frac{1}{8}$w²+2，
∴此時(shí)拱頂離水面h=2-y=2-（-$\frac{1}{8}$w²+2）=$\frac{1}{8}$w²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系是解題的根本，理解題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題求解是解題的關(guān)鍵．