Question

15．已知點A（m、n）是反比例函數(shù)$y=\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上一點，過A作AB⊥x軸于點B，P是y軸上一點，
（1）求△PAB的面積；
（2）當△PAB為等腰直角三角形時，求點A的坐標；
（3）若∠APB=90°，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先連接OA，由AB⊥x軸，可得AB∥y軸，即可得△PAB與△OAB等底等高，即可知其面積相等，然后由反比例函數(shù)k的幾何意義，求得△PAB的面積；
（2）分別從若∠ABP=90°，則AB=OB；若∠PAB=90°，則PA=AB；若∠APB=90°，則AP=BP去分析求解即可求得答案；
（3）由∠APB=90°，可得點P是以AB為直徑的圓與y軸的交點，又由（2）可知當x=$\sqrt{2}$時，以AB為直徑的圓與y軸相切，當x＞$\sqrt{2}$時，以AB為直徑的圓與y軸相離，繼而求得答案．

解答 解：（1）連接OA，
∵AB⊥x軸，
∴AB∥y軸，
∴S_△PAB=S_△POB，
∵點A（m、n）是反比例函數(shù)$y=\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上一點，
∴S_△PAB=S_△POB=2；

（2）若∠ABP=90°，則AB=OB，
則m=n，
∴m=$\frac{4}{m}$，
∵x＞0，
∴m=2，
∴點A（2，2）；
若∠PAB=90°，則PA=AB，同理可得點A（2，2）；
若∠APB=90°，則AP=BP，
過點P作PC⊥AB于點C，則AC=BC=PC，
則點A（m，2m），
∴2m=$\frac{4}{m}$，
∵x＞0，
∴m=$\sqrt{2}$，
∴點A（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；
綜上，點A的坐標為：（2，2）或（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；

（3）∵∠APB=90°，
∴點P是以AB為直徑的圓與y軸的交點，
由（2）可知當x=$\sqrt{2}$時，以AB為直徑的圓與y軸相切，當x＞$\sqrt{2}$時，以AB為直徑的圓與y軸相離，
∴m的取值范圍為：0＜m≤$\sqrt{2}$．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)k的幾何意義、等腰直角三角形的性質、圓周角定理以及直線與圓的關系．注意準確作出輔助線，由∠APB=90°，得到點P是以AB為直徑的圓與y軸的交點是解此題的關鍵，