Question

1．如圖1，△ABC和△EPF都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠EFP=90°，AC=BC，EF=PF，邊BC與邊FP在直線l上，邊AC與邊EF重合．
（1）直接寫出圖1中AB與AP之間的關(guān)系；
（2）將△EPF沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP、BQ．試猜想AP與BQ之間的關(guān)系，并說明理由；
（3）將△EPF沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP、BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的AP與BQ之間的關(guān)系仍成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用圖形得出AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）根據(jù)題意得出△BCQ≌△ACP（SAS），進(jìn)而得出BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（3）根據(jù)題意得出△BCQ≌△ACP（SAS），進(jìn)而得出BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

解答 解：（1）AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是：AB=AP，AB⊥AP；
（2）BQ=AP，BQ⊥AP．理由如下：
如圖2，延長(zhǎng)BQ交AP于點(diǎn)M，

∵∠EFP=90°，EF=PF，
∴∠E=∠EPF=45°，
∵∠ACB=90°
∴∠ACP=180°-∠ACB=90°
∴∠CQP=45°=∠EPF，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCQ=∠ACP=9{0}^{°}}\\{CQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP，∠QBC=∠CAP．
∵∠CAP+∠APC=90°
∴∠QBC+∠APC=90°
∴∠BMP=90°
∴BQ⊥AP．                                    
（3）在（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系仍成立，即：BQ=AP  BQ⊥AP．
理由如下：
如圖3，延長(zhǎng)QB交AP于點(diǎn)N．

∵∠EFP=90°，EF=PF，
∴∠E=∠EPF=45°
∴∠QPC=∠EPF=45°
∵∠ACB=90°
∴∠PCQ=90°
∴∠PQC=45°=∠QPC，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCQ=∠ACP=9{0}^{°}}\\{CQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP．
∠BQC=∠APC，
∵∠APC+∠PAC=90°
∴∠BQC+∠PAC=90°
∴∠ANQ=90°
∴BQ⊥AP．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了幾何變換以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△BCQ≌△ACP是解題關(guān)鍵．