Question

2．如圖，△ABC是一塊直角三角形材料，∠BAC=90°，BC=100cm，AB=80cm，要把它加工成矩形零件，使矩形一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上．
（1）請求出sinB的值；
（2）當頂點E位于AB上何處時，這個矩形零件的面積最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求得AC的長度，然后利用銳角三函數(shù)的定義求出sinB的值；
（2）根據(jù)題意得出△AEF∽△ABC，進而表示出AE的長，再利用二次函數(shù)最值求法得出答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，BC=100cm，AB=80cm，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}-8{0}^{2}}$=60（cm），
∴sinB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{60}{100}$=$\frac{3}{5}$，即sinB的值是$\frac{3}{5}$；

（2）如圖，過點A作BC邊上的高線AM，交EF于點N．
由$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$BC•AM得到：AM=$\frac{80×60}{100}$=48（cm）
∵由題意知，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{EF}{BC}$，即$\frac{AN}{48}$=$\frac{EF}{100}$，
∴EF=$\frac{25}{12}$AN，
∴S_矩形EFHG=EF•NM=$\frac{25}{12}$AN•（48-AN）=-100AN-$\frac{25}{12}$AN²=-$\frac{25}{12}$（AN-24）²+1200．
當AN=24時，這個矩形零件的面積最大，最大值是1200cm²．
由$\frac{AN}{AE}$=$\frac{3}{5}$得到：AE=$\frac{5}{3}$AN=40（cm）．
∴當點E是AB的中點時，這個矩形零件的面積最大，最大值是1200cm²．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)題意表示出AE的長是解題關(guān)鍵．