Question

10．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，連接BD、DE、BE，則下列結(jié)論：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD．其中正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ECA=165°，從而得證結(jié)論正確；
②根據(jù)CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求證△ACD≌△BCE即可得出結(jié)論；
③由②的結(jié)論，等量代換即可；
④過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=$\frac{1}{2}$AC，求證△CMD≌△CND，可得CN=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，從而得出CN=BN．然后即可得出結(jié)論．

解答 解：∵∠CAD=30°，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECA=165°，①正確；
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，③正確；
∵BC=AD，
∴BE=BC，②正確；
過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．
∵∠CAD=30°，且DM=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠NCD=90°-∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC-∠ACD=15°，
在△CMD和△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠CND}\\{∠MDC=∠NCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CMD≌△CND，
∴CN=DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，
∴CN=BN．
∵DN⊥BC，
∴BD=CD．∴④正確，
故選：D．

點(diǎn)評 此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形等知識點(diǎn)的理解和掌握．