Question

6．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)y的值大于0時(shí)，求x的取值范圍；
（3）分別求出△BCM與△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a即可得到拋物線解析式，再配成頂點(diǎn)式得到M點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）觀察函數(shù)圖象，寫出拋物線在x軸上方部分所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可；
（3）根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ABC的面積，利用S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC計(jì)算△BCM的面積．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線過點(diǎn)（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)M（1，-4）；
（2）x＜-1或x＞3；
（3）如圖，連接BC、BM、CM，作MD⊥x軸于D，
S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC=$\frac{1}{2}$×（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×3×3=3
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：從二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式和三角形面積公式．