Question

3．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-1，8）和點(diǎn)A（1，0），交x軸另一點(diǎn)于B，交y軸于C．下列說(shuō)法中：
①b=-4；       
②存在這樣一個(gè)a，使得M、A、C三點(diǎn)在同一條直線上；
③拋物線的對(duì)稱(chēng)軸位于y軸的右側(cè)；         
④若a=1，則3OA•OB=OC²．
正確的有（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-1，8）和點(diǎn)A（1，0），因而將M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可消去a、c解得b值；
②結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可判斷M、A、C三點(diǎn)不在同一條直線上；
③求出二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸方程x=-$\frac{2a}$，結(jié)合a＞0，b=-4即可作出判斷；
④當(dāng)y=0時(shí)利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得到OA•OB的值，當(dāng)x=0時(shí)，可得到OC的值．通過(guò)c建立等量關(guān)系求證．

解答 解：①∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-1，8）和點(diǎn)N（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8=a-b+c}\\{0=a+b+c}\end{array}\right.$，
解得b=-4．
故該選項(xiàng)正確．

②根據(jù)拋物線圖象的特點(diǎn)，M、A、C三點(diǎn)不可能在同一條直線上．
故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．

③由①可得b=-4，a＞0，則對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{2a}$＞0，
所以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸位于y軸的右側(cè)．
故該選項(xiàng)正確．

④當(dāng)a=1時(shí)，c=3，∴該拋物線的解析式為y=x²-4x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，0=x²-4x+3，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁•x₂=3=c，
即OA•OB=3，
3OA•OB=OC²．
故該選項(xiàng)正確．
綜上所述①③④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是要熟練掌握拋物線開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸以及根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，此題難度不大．