Question

9．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，G在AD上，且DF=BE．①CE=CF；②EC⊥CF；③△ECG≌△FCG，④若∠GCE=45°，則EG=BE+GD，以上說法正確的是①②④．

Answer 1

分析 由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，可判斷①②；當(dāng)∠GCE=45°時可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因為DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立，可判斷③④．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠CDF}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD=90°，
∴∠ECF=90°，
∴CE⊥CF，
故①②正確；
當(dāng)∠GCE=45°時，則∠BCE+∠DCG=45°，
∵∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF=∠DCG+∠DCF=45°=∠GCE，
在△ECG和△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCE=∠GCF}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD，
故③不一定正確，④正確；
綜上可知正確的為：①②④，
故答案為：①②④．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即對SSS、SAS、ASA、AAS和HL的靈活運用．