Question

7．已知一次函數(shù)y=mx+b（m＜0）與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$相交于點(diǎn)A（1，3）及點(diǎn)B，當(dāng)△AOB的面積為4時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 先由反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，3），得出k=1×3=3，于是可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，$\frac{3}{a}$）．再作AE⊥x軸，BF⊥x軸，垂足分別為E、F，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出S_△AOB=S_{四邊形AEFB}=4，依此列出方程$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{a}$+3）×（a-1）=4，求出a的值，然后把A（1，3），B（3，1）代入y=mx+b，即可求出m的值．

解答 解：∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{x}$，
∴可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，$\frac{3}{a}$）．
作AE⊥x軸，BF⊥x軸，垂足分別為E、F，則S_△AOE=S_△BOF=1.5，
∵S_△AOB=S_{四邊形AEFB}+S_△AOE-S_△BOF=S_{四邊形AEFB}=4，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{a}$+3）×（a-1）=4，
整理得，3a²-8a-3=0，
解得a₁=3，a₂=-$\frac{1}{3}$（不合題意舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）．
把A（1，3），B（3，1）代入y=mx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{m+b=3}\\{3m+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故所求m的值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$中k的幾何意義，三角形的面積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．