Question

5．直線y=-2x+b與x軸、y軸分別交與點(diǎn)A、C，點(diǎn)B（-2，0），AB=$\frac{5}{6}$CO．
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以$\sqrt{5}$個(gè)單位/s的速度沿線段AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作PH⊥AC交y軸正半軸于H，設(shè)線段PH長(zhǎng)為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，（并寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，作射線BK平分∠CBP，交線段AC于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)C作BK的垂線交射線BP于點(diǎn)Q，當(dāng)t為何值時(shí)，AC•PQ=QK•BC，并直接寫(xiě)出以P為心，線段PH為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=-2x+b與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{2}$，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，b），再由AB=$\frac{5}{6}$CO得出b的值，代入即可；
（2）根據(jù)勾股定理，可得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得函數(shù)解析式，根據(jù)0＜AP＜AC，可得自變量的取值范圍；
（3）由角平分線垂直于三角形的邊，得到三角形是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC=BQ，∠QCB=∠BQC，同理可證∠QCK=∠CQK，因?yàn)锳C•PQ=QK•BC，
得到∠BCA=∠BQK，得到△ABC∽△KQP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證得∠BAC=∠PQK，∠KQP=∠ACB，所以QK∥AB，∠KQP=∠PBA，∠KQP=∠ACB，因?yàn)椤螧AC=∠BAC
，得到△ABC∽△APB，根據(jù)比例式列出方程，求得t的值，因?yàn)辄c(diǎn)P在AC上，直線AC的解析式：y=-2x+6，得到P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即為點(diǎn)P到x軸的距離，比較與PH的大小，得出以P為心，線段PH為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系．

解答 解：（1）令y=0，則x=$\frac{2}$，令x=0．則y=b，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{2}$，0）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，b），
∵AB=2+|$\frac{2}$|，$\frac{5}{6}$CO=$\frac{5}{6}$×|b|，
∴2+|$\frac{2}$|=$\frac{5}{6}$×|b|，
解得：b=6，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）如圖1，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），
∴OA=3，OC=6，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴PC=3$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，
∵PH⊥AC，
∴∠CPH=∠COA=90°，∠PCH=∠OCA，
∴△PCH∽△OCA，
∴$\frac{PH}{OA}$=$\frac{CP}{OC}$，即$\frac{y}{3}$=$\frac{3\sqrt{5}-\sqrt{5}t}{6}$
∴y=$-\frac{{\sqrt{5}}}{2}t+\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$ （$\frac{3}{5}$＜t＜3）．

（3）如圖2∵BK平分∠CBP，BK⊥CQ，
∴BC=BQ，
∴∠QCB=∠BQC，同理可證∠QCK=∠CQK，
∴∠BCA=∠BQK，
∵AC•PQ=QK•BC，
∴$\frac{AC}{QK}$=$\frac{BC}{PQ}$，
∴△ABC∽△KQP，
∴∠BAC=∠PQK，∠KQP=∠ACB，
∴QK∥AB，
∴∠KQP=∠PBA，
∴∠KQP=∠ACB，∵∠BAC=∠BAC，
∴△ABC∽△APB，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，
∵AP=$\sqrt{5}$t，AB=5，AC=3$\sqrt{5}$，
∴$\frac{\sqrt{5}t}{5}$=$\frac{5}{3\sqrt{5}}$，∴t=$\frac{5}{3}$，
∴PH=y=$-\frac{{\sqrt{5}}}{2}t+\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$=$\frac{4\sqrt{5}}{6}$，
∵點(diǎn)P在AC上，直線AC的解析式：y=-2x+6，
設(shè)P的坐標(biāo)（a，-2a+6），
由勾股定理得；（3-a）²+（-2a+6）²=${（\frac{5\sqrt{5}}{3}）}^{2}$，
解得a=$\frac{14}{3}$，a=-$\frac{4}{3}$（舍去），
∴-2a+6＞$\frac{4\sqrt{5}}{6}$，
∴以P為心，線段PH為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相離．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及圓與直線的位置等知識(shí)點(diǎn)．