Question

18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別AC、AB的中點(diǎn)，連接DE，并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF=EB，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，連接DG并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接FH，給出以下四個(gè)結(jié)論：①∠FGH=∠CDG；②DE=GE；③$\frac{EG}{DC}=\frac{FG}{CH}$；④四邊形CDFH是矩形
其中正確的結(jié)論有①②④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 根據(jù)△ADE≌△FGE，即可得到DE=GE，根據(jù)等角的余角相等即可得出∠CDG=∠FGH，根據(jù)△HCD與△FGE不一定相似，可得$\frac{EG}{DC}=\frac{FG}{CH}$不一定成立，根據(jù)∠FGB=∠FHB=90°，∠C=∠CDF=90°，即可得到四邊形CDFH是矩形．

解答 解：∵D、E分別AC、AB的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=90°，
又∵FG⊥AB，
∴∠FGE=∠ADE=90°，
∵EF=EB，EB=AE，
∴AE=FE，
在△ADE和△FGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGE=∠ADE}\\{∠AED=∠FEG}\\{AE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FGE（AAS），
∴DE=GE，故②正確；
∴∠EDG=∠EGD，
又∵∠CDG+∠EDG=90°，∠FGH+∠EGD=90°，
∴∠CDG=∠FGH，故①正確；
∵△ADE≌△FGE，
∴∠A=∠EFG，
又∵∠CHD與∠A不一定相等，
∴∠CHD與∠EFG不一定相等，
而∠EFG與∠CDH也不一定相等，
∴△HCD與△FGE不一定相似，
∴$\frac{EG}{DC}=\frac{FG}{CH}$不一定成立，故③錯(cuò)誤；
如圖，連接BF，
∵BH∥DE，
∴∠GHB=∠EDG=∠EGD=∠BGH，∠FBH=∠BFE，
∴BG=BH，
∵EB=EF，
∴∠BFE=∠FBG，
∴∠FBG=∠FBH，
在△FBG和△FBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BH}\\{∠FBG=∠FBH}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△FBG≌△FBH（SAS），
∴∠FGB=∠FHB=90°，
又∵∠C=∠CDF=90°，
∴四邊形CDFH是矩形，故④正確，
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是判定三角形全等，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等作出判斷．