Question

9．如圖，一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且AB=OC．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出該函數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先求得AB，得出OC，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求的函數(shù)解析式，進(jìn)一步利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得最值即可．

解答 解：（1）∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AO=1，OB=3，即AB=AO+OB=1+3=4．
∴OC=4，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．
（2）設(shè)圖象經(jīng)過A、C、B三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，把A、C、B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入上式，
得$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=4\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{8}{3}$x，c=4，
∴所求的二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4．
∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），即拋物線的對稱軸為直線x=1．
∵a=-$\frac{4}{3}$＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值y=-$\frac{4}{3}$+$\frac{8}{3}$+4=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求得三點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握待定系數(shù)法的方法與步驟是解決問題的關(guān)鍵．