Question

13．關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）上述方程的根x₁，x₂恰好是斜邊為6的直角三角形另外兩邊的邊長，求這個(gè)三角形的周長．

Answer 1

分析 （1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，可得出△=8m-16≥0，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂=2（m+1）、x₁•x₂=m²+5，結(jié)合勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的兩根均為正值可確定m的值，再根據(jù)三角形的周長公式即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=[-2（m+1）]²-4（m²+5）=8m-16≥0，
解得：m≥2．
（2）∵x₁，x₂是方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²+5．
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6²，即m²+4m-21=0，
∴m=3或m=-7．
∵2（m+1）＞0，
∴m=3，
∴這個(gè)三角形的周長=6+x₁+x₂=14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根找出△=8m-16≥0；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合勾股定理找出m²+4m-21=0．