Question

20．已知一元二次方程（c-a）x²+2bx+c+a=0有兩個相等實根，a，b，c是△ABC的三邊，且2b=a+c
（1）求a：b：c；
（2）若上述三角形最短邊為5，而方程x²-（m+2）x+m-3的兩根平方和為最長邊的3倍，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由于方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個相等實根，由此得到其判別式等于0，這樣可以得到一個關(guān)于a、b、c的關(guān)系，再利用2b=a+c即可求解；
（2）利用（1）可以求出a，b，c的長度，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件即可求解．

解答 解：（1）∵（c-a）x²+2bx+c+a=0有兩個相等實根，
∴（c-a）x²+2bx+c+a=0的判別式為0，
即△=4b²-4（a+c）（c-a）=0，
∴b²+c²=a²，①
∴△ABC是直角三角形，
而2b=a+c，②，
聯(lián)立①②把b作為已知數(shù)解關(guān)于a、c的方程組得a=$\frac{3}{4}$b，c=$\frac{5}{4}$b，
∴a：b：c=3：4：5；
（2）∵三角形最短邊為5，
∴據(jù)（1）知道最長邊為$\frac{25}{3}$，
∵方程x²-（m+2）x+m-3=0的兩根平方和為最長邊的3倍，
設(shè)兩根為α、β、
∴α+β=m+2，
αβ=m-3，
∴α²+β²=25=（α+β）²-2αβ，
∴（m+2）²-2（m-3）=25，
∴m₁=-5，m₂=3．

點評 此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，是敘利亞判別式確定a、b、c的關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的方程解決問題．