Question

14．如圖甲所示，直線y=x+3交反比例函數(shù)圖象的第一象限分支于點A，交x軸于點B，且過點C（-1，2），將直線AB向下平移，線段CA平移到線段OD，此時點D也在該反比例函數(shù)的圖象上．

（1）通過探究點C（-1，2）到原點O（0，0）的平移過程，試寫出若A（m，m+3），則點D可表示為（m+1，m+1）（用含m的代數(shù)式表示）．
（2）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（3）若把直線y=x+3向下平移6個單位交反比例函數(shù)圖象的第一象限分支于點E，求點E的坐標(biāo)．
（4）若線段OC以每秒1個單位長度的速度沿著射線CA的方向平移至O′C′，設(shè)平移時間為t（s），則當(dāng)t為何值時，以O(shè)′，C′，A，D為頂點的四邊形是菱形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出直線OD的解析式為y=x，根據(jù)線段CA平移到OD，點C（-1，2），A（m，m+3），得出D（m+1，m+1）；
（2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，由A（m，m+3）、D（m+1，m+1）都在反比例函數(shù)圖象上，得出m（m+3）=（m+1）（m+1），解得：m=1即可；
（3）把直線y=x+3向下平移6個單位得直線y=x-3，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x-3}\end{array}\right.$即可得出答案；
（4）分兩種情況：①當(dāng)O'C'在AD的左側(cè)時，由菱形的性質(zhì)和勾股定理得出O'D=AD=O'C'=OC=$\sqrt{5}$，OD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，求出OO'=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$即可；
②當(dāng)O'C'在AD的左側(cè)時，同理得出OO'=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，得出t=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$即可．

解答 解：（1）∵線段OD所在直線是由直線y=x+3平移得到的，
∴直線OD的解析式為y=x，
∵線段CA平移到OD，點C（-1，2），A（m，m+3），
∴D（m+1，m+3-2），
即D（m+1，m+1）；
故答案為：（m+1，m+1）；
（2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∵A（m，m+3）、D（m+1，m+1）都在反比例函數(shù)圖象上，
∴m（m+3）=（m+1）（m+1），
解得：m=1，
∴A（1，4），D（2，2），
∴k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$；
（3）把直線y=x+3向下平移6個單位得直線y=x-3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x-3}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$（舍去），
∴E（4，1）；
（4）分兩種情況：①當(dāng)O'C'在AD的左側(cè)時，如圖乙所示：
∵四邊形O'C'OD是菱形，
∴O'D=AD=O'C'=OC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OO'=OD-O'D=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，
∵線段OC以每秒1個單位長度的速度沿著射線CA的方向平移至O′C′，
∴t=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$；
②當(dāng)O'C'在AD的左側(cè)時，如圖丙所示：
同理得出OO'=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
∴t=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$；
綜上所述：當(dāng)t為2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$或2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$時，以O(shè)′，C′，A，D為頂點的四邊形是菱形．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理、直線與雙曲線的交點、菱形的性質(zhì)、解方程組等知識；本題綜合性強，有一定難度．