Question

10．【問題引入】
（1）如圖1，△ABC，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB相鄰的外角平分線的交點(diǎn)，若∠A=40°，請求出∠BOC的度數(shù)．
【深入探究】
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是∠BAC和∠ACD的角平分線的交點(diǎn)，若∠B+∠D=110°，請求出∠AOC的度數(shù)．

【類比猜想】
（3）如圖3，在△ABC中，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ECB，∠A=α，則∠BOC=120°-$\frac{1}{3}$α（用α的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果，不需要寫出解答過程）．
（4）如果BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO=$\frac{1}{n}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ECB則∠BOC=$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．（用n、a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果，不需要寫出解答過程）．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用鄰補(bǔ)角可求得∠DBC+∠ECB，根據(jù)角平分線的定義可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形內(nèi)角和定理可求得∠BOC；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，四邊形內(nèi)角和等于360°，結(jié)合角平分線的定義即可得到∠AOC與∠B+∠D之間的關(guān)系；
（3）如圖3，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°-$\frac{1}{3}$α；
（4）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．

解答 解：（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-140°=220°，
∵BO、CO分別平分∠DBC和∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=$\frac{1}{2}$×220°=110°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-110°=70°；

（2）∵點(diǎn)O是∠BAC和∠ACD的角平分線的交點(diǎn)，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ACD）
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠B-∠D）
=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D），
∵∠B+∠D=110°，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）=55°；

（3）如圖③，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠DBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠A+180°）
=120°-$\frac{1}{3}$α；
（4）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{n}$（∠DBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{n}$（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
=180°-$\frac{1}{n}$（∠A+180°）
=$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．
故答案為：120°-$\frac{1}{3}$α；$\frac{（n-1）×180°}{n}$-$\frac{1}{n}$α．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．