Question

13．如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)AC，DE，DE分別交BC，AC于點(diǎn)F，G，且CD•AE=AC•AG．
求證：（1）△ABC∽△AGE；
（2）AB²=GD•DE．

Answer 1

分析 （1）只要證明$\frac{AB}{AG}$=$\frac{AC}{AE}$，又∠BAC=∠GAE，即可證明△ABC∽△AGE；
（2）只要證明△ADG∽△EDA，可得$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DG}{AD}$，推出AD²=DE•DG即可證明；

解答 證明：（1）∵CD•AE=AC•AG．
∴$\frac{CD}{AG}$=$\frac{AC}{AE}$，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD，
∴$\frac{AB}{AG}$=$\frac{AC}{AE}$，∵∠BAC=∠GAE，
∴△ABC∽△AGE，

（2）∵△ABC∽△AGE，
∴∠ACB=∠E，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BC∥AD，
∴∠ACB=∠CAD=∠E，
∵∠ADG=∠ADE，
∴△ADG∽△EDA，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DG}{AD}$，
∴AD²=DE•DG，
∴AB²=DE•DG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．