Question

16．在矩形ABCD中，AB=4，AD=7，P是邊BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），作PE⊥AP，交CD邊所在于點(diǎn)E．
（1）判斷△ABP與△PCE是否相似，并說(shuō)明理由；
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E是否總在線(xiàn)段CD上？寫(xiě)出結(jié)論并說(shuō)明理由；
（3）若在BC邊上存在點(diǎn)P，使得△PEC沿PE翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊AD上，求tan∠APB的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得到∠ABP=∠PCE=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAP=∠EPC，于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)BP=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入數(shù)據(jù)求得EC=$\frac{BP•PC}{AB}$=$\frac{x（7-x）}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{49}{16}$，然后根據(jù)二次函數(shù)的最大值即可做出判斷；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于H，設(shè)BP=x，則PC=PF=7-x，CE=EF=$\frac{x（7-x）}{4}$，DE=4-$\frac{x（7-x）}{4}$，PH=4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DF}{EF}=\frac{PH}{PF}$，代入數(shù)據(jù)求得DF=x，HF=7-2x，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）△ABP∽△PCE，
理由：∵∠ABP=∠PCE=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠APB+∠EPC=90°，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△ABP∽△PCE；

（2）點(diǎn)E總在線(xiàn)段CD上，
理由：設(shè)BP=x，
∵△ABP∽△PCE，
∴EC=$\frac{BP•PC}{AB}$=$\frac{x（7-x）}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{49}{16}$，
∴當(dāng)x=$\frac{7}{2}$時(shí)，EC取得最大值$\frac{49}{16}$，
∵$\frac{49}{16}＜$4，
∴點(diǎn)E總在線(xiàn)段CD上；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于H，
設(shè)BP=x，則PC=PF=7-x，CE=EF=$\frac{x（7-x）}{4}$，DE=4-$\frac{x（7-x）}{4}$，PH=4，
∵△PHF∽△FDE，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{PH}{PF}$，
即$\frac{DF}{\frac{x（7-x）}{4}}$=$\frac{4}{7-x}$，
∴DF=x，HF=7-2x，
在R_t△PHF中，PH²+HF²=PF²，
即4²+（7-2x）²=（7-x）²，
解得：x₁=2，x₂=$\frac{8}{3}$，
∴tan∠APB=$\frac{AB}{BP}$=2或tan∠APB=$\frac{AB}{BP}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最大值，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．