Question

3．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AE、BD交于點O．AE與DC交于點M，BD與AC交于點N．
（1）如圖1，求證：AE=BD；
（2）如圖2，若AC=DC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證△ACE≌△BCD，從而可知AE=BD；
（2）根據(jù)條件即可判斷圖中的全等直角三角形；

解答 解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
（2）∵AC=DC，
∴AC=CD=EC=CB，
△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC
∴∠DOM=90°，
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，
∴△EMC≌△BCN（ASA），
∴CM=CN，
∴DM=AN，
△AON≌△DOM（AAS），
∵DE=AB，AO=DO，
∴△AOB≌△DOE（HL）

點評 本題考查全等三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用全等三角形的判定條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．