Question

15．如圖①，A，D分別在x軸，y軸上，AB∥y軸，DC∥x軸．點P從點D出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度，沿五邊形OABCD的邊勻速運動一周，若順次連接P，O，D三點所圍成的三角形的面積為S，點P運動的時間為t秒，已知S與t之間的函數(shù)關系如圖②中折線OEFGHM所示．
（1）圖①中點B的坐標為（8，2）；點C的坐標為（5，6）；
（2）求圖②中GH所在直線的解析式；
（3）是否存在點P，使△OCP的面積為五邊形OABCD的面積的$\frac{1}{3}$？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于點P從點D出發(fā)，根據圖②中S與t的圖象可知，點P按順時針方向沿五邊形OABCD的邊作勻速運動，又運動速度為1個單位長度/秒，所以DC=5，BC=5，AB=2，AO=8，OD=6，由此得到點C的坐標，由圖②20-12=8，得出B的坐標；
（2）先求出點G坐標，再用待定系數(shù)法即可求出；
（3）先求出五邊形OABCD的面積和△OCP的面積，再分類討論三種情況：
①當P在CD上時，CP=5-t，由△OCP的面積得出t的值，即可得出P的坐標；
②當P在OA上時，設P（x，0），由△OCP的面積得出x的值，即可得出P的坐標；
③當P在BC上時，過點（$\frac{14}{3}$，0）作OC平行線l交BC于P，求出直線OC和過點（$\frac{14}{3}$，0）與OC平行的直線l以及直線BC的解析式，l與BC的交點即為P，解方程組即可．

解答 解：（1）由題意，可知點P的運動路線是：D→C→B→A→O→D，
DC=5，BC=10-5=5，AB=12-10=2，AO=20-12=8，OD=26-20=6，
∴點C的坐標為（5，6）；
由圖②：20-12=8，
∴點B的坐標為（8，2）；
（2）設GH的解析式為y=kx+b，
∵當點P運動到B時，S=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴G（12，24），
把點G（12，24），H（20，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{12k+b=24}\\{20k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-3，b=60，
∴圖②中GH所在直線的解析式為：y=-3x+60；
（3）存在點P，使△OCP的面積為五邊形OABCD的面積的$\frac{1}{3}$；分三種情況：
作CM⊥OA于M，如圖①所示：
則五邊形OABCD的面積=矩形ODCM的面積+梯形ABCM的面積=5×6+$\frac{1}{2}$（2+6）（8-5）=42，
△OCP的面積=$\frac{1}{3}$×42=14，
分三種情況：
①由圖象得：當P在CD上時，CP=5-t，△OCP的面積=$\frac{1}{2}$（5-t）×6=14，
解得：t=$\frac{1}{3}$，
∴P（$\frac{1}{3}$，6）；
②由①得，當P在OA上時，設P（x，0），
則△OCP的面積=$\frac{1}{2}$x×6=14，
解得：x=$\frac{14}{3}$，
∴P（$\frac{14}{3}$，0）；
③當P在BC上時，過點（$\frac{14}{3}$，0）作OC平行線l交BC于P；如圖①所示：
∵直線OC為y=$\frac{6}{5}$x，設直線l的解析式為y=$\frac{6}{5}$x+b，
把點（$\frac{14}{3}$，0）代入得：b=-$\frac{28}{5}$，
∴l(xiāng)的解析式為：y=$\frac{6}{5}$x-$\frac{28}{5}$；
設直線BC的解析式為y=ax+c，
把B（8，2），C（5，6）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=2}\\{5k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{38}{3}$，
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{38}{3}$；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{5}x-\frac{28}{5}}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{38}{3}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{137}{19}}\\{y=\frac{174}{57}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{137}{19}$，$\frac{174}{57}$）；當P在OD上時，5OP=14×2，OP=5.6，
∴P（0，5.6）
綜上所述：點P的坐標為（$\frac{1}{3}$，6），或（$\frac{14}{3}$，0），或（$\frac{137}{19}$，$\frac{174}{57}$），或（0.5.6）．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題，考查了點的坐標、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、圖形面積的計算，交點坐標的求法等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中需分類討論，通過作輔助線才能得出結果．