Question

12．已知，拋物線L：y=x²-2bx-3（b為常數(shù)）．
（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（b，-b²-3）（用含b的代數(shù)式表示）；
（2）若拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，-1）且與y=$\frac{k}{x}$圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出拋物線L的簡(jiǎn)圖，并求y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖2，矩形ABCD的四條邊分別平行于坐標(biāo)軸，AD=1，若拋物線L經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且矩形ABCD在其對(duì)稱軸的左側(cè)，則對(duì)角線AC的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用配方法對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形得到y(tǒng)=（x-b）²-（b²+3），然后依據(jù)函數(shù)解析式寫(xiě)出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）將M（-2，-1）代入拋物線的解析式可求得b的值，然后可得到拋物線的解析式，由拋物線的解析式可畫(huà)出拋物線的大致圖象，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得拋物線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后將交點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x²-2bx-3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x+1，x²-2bx-3），C的坐標(biāo)為（x+1，x²+（2-2b）x-2b-2
）．然后由拋物線的對(duì)稱軸為x=b，從而可求得x的取值范圍，然后列出DC與x的函數(shù)關(guān)系，然后依據(jù)x的范圍可求得DC的取值范圍，由AD為定值，依據(jù)勾股定理可知當(dāng)DC取值最小值時(shí)，AC有最小值．

解答 解：（1）∵y=x²-2bx-3=x²-2bx+b²-b²-3=（x-b）²-（b²+3），
∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，-b²-3）．
故答案為：（b，-b²-3）．

（2）將M（-2，-1）代入拋物線的解析式得：4+4b-3=-1，解得：b=-$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=x²+x-3．
拋物線L的大致圖象如圖1所示：

將y=3代入y=x²+x-3得：x²+x-3=3，解得：x=2或x=-3．
∴拋物線與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）或（-3，3）．
將（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=6，
∴y=$\frac{6}{x}$．
將（-3，3）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=-9，
∴y=-$\frac{9}{x}$．

（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x²-2bx-3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x+1，x²-2bx-3），C的坐標(biāo)為（x+1，x²+（2-2b）x-2b-2
）．

∴DC=（x²-2bx-3）-[x²+（2-2b）x-2b-2]=-2x+2b-1．
∴DC的長(zhǎng)隨x的增大而減�。�
∵矩形ABCD在其對(duì)稱軸的左側(cè)，拋物線的對(duì)稱軸為x=b，
∴x≤b-1．
∴當(dāng)x=b-1時(shí)，DC的長(zhǎng)有最小值，DC的最小值=-2（b-1）+2b-1=1．
∵AD的長(zhǎng)度不變，
∴當(dāng)DC最小時(shí)，AC有最小值．
∴AC的最小值=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，找出AC的長(zhǎng)取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵．