Question

6．如圖，已知：⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足為D．
（1）求證：AD為⊙O的切線；
（2）若tan∠ABD=$\frac{4}{3}$，AC=8，求⊙O的直徑BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）要證AD是⊙O的切線，連接OA，只證∠DAO=90°即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求出AB，從而根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，得出⊙O的直徑．

解答 （1）略（2）10
（1）證明：連接OA；
∵BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBE，AD⊥BE，
∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，
∴DA為⊙O的切線．

（2）解：∵∠DBA=∠CBA，tan∠ABD=$\frac{4}{3}$，AC=8，
∴tan∠CBA=$\frac{4}{3}$，
∴AB=$\frac{AC}{tan∠CBA}$=$\frac{8}{\frac{4}{3}}$=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴⊙O的直徑BC為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了三角函數(shù)的知識(shí)．