Question

18．如圖所示，已知直線y=-$\frac{1}{2}$x+4分別與x軸，y軸交于點A、B、C為OB的中點，點P是線段OA上的動點，以P為直角頂點，PC為腰，在PC的右側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形PCD，設(shè)OP=m．
（1）直接寫出OA=8，OB=4．
（2）當(dāng)m為何值時，點D在直線AB上？
（3）連接AD，在點P的運動過程中，是否存在m使得∠PAD等于∠PDA或∠PCO？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)直線解析式得出點A，B的坐標(biāo)，即可得出OA，OB；
（2）先判斷出AE=2DE，OC=2，再根據(jù)同角的余角相等得出∠EPD=∠OCP，進(jìn)而判斷出△COP≌△PED，得出PE=2，即可得出OP=2，即可得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)∠PAD=∠PDA時，即可得出PD=PA，即可得出OP=8-PA，最后用勾股定理即可得出DE=2，即可得出結(jié)論；
②當(dāng)∠PAD=∠PCO時，得出∠PAD=∠APD，即可得出AD=PD，同（2）的方法判斷出△COP≌△PED，即可得出PE=2，進(jìn)而得出AP=4，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{1}{2}$x+4分別與x軸，y軸交于點A、B，
∴A（8，0），B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
故答案為：8，4；
（2）如圖1，過點D作DE⊥OA，
∵點D在直線AB上，
∴tan∠BAO=$\frac{DE}{AE}=\frac{OB}{OA}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2DE，
∵C為OB的中點，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=2，
∵∠CPD=90°，
∴∠CPO+∠EPD=90°，
∵∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠EPD=∠OCP，
在△COP和△PED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠COP=∠PED}\\{∠OCP=∠EPD}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△COP≌△PED，
∴PE=OC=2，DE=OP，
∴OP+PE+AE=8，
∴DE+2+2DE=8，
∴DE=2，
∴OP=2，
∴m=OP=2，
（3）如圖2，由（2）知，∠OCP=∠APD，
①當(dāng)∠PAD=∠PDA時，
∴PD=PA，
∵PC=PA，
∵OA=8，
∴OP=OA-PA=8-PA，
在Rt△OCP中，OC=2，
根據(jù)勾股定理得，PC²-OP²=OC²，
∴PA²-（8-PA）²=4，
∴PA=$\frac{17}{4}$，
∴m=OP=8-$\frac{17}{4}$=$\frac{15}{4}$，
②當(dāng)∠PAD=∠PCO時，
∴∠PAD=∠APD，
∴AD=PD，
過點D作DE⊥AP，
∴PA=PE=$\frac{1}{2}$AP，
∵∠CPD=90°，
∴∠CPO+∠EPD=90°，
∵∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠EPD=∠OCP，
在△COP和△PED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠COP=∠PED}\\{∠OCP=∠EPD}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△COP≌△PED，
∴PE=OC=2，
∴AP=2PE=4，
∴OP+AP=8，
∴OP=8-AP=4，
∴m=OP=4．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了直線與坐標(biāo)軸的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷△COP≌△PED，是一道中等難度的中考常考題．