Question

10．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”，如：4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此4，12，20都是“神秘數(shù)”．
（1）52和2015這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎？為什么？
（2）設(shè)兩個連續(xù)的偶數(shù)為2k和2k+2（其中k為非負數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)嗎？為什么？
（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是“神秘數(shù)”嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相鄰兩個偶數(shù)的平方差，可得答案；
（2）根據(jù)相鄰兩個偶數(shù)的平方差，神秘數(shù)的定義，可得答案；
（3）根據(jù)相鄰兩個奇數(shù)的平方差，神秘數(shù)的定義，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)（2k+2）²-（2k）²=52，解得k=6，
52是神秘數(shù)；
（2k+2）²-（2k）²=2015，
解得k=$\frac{2011}{8}$，
2015不是神秘數(shù)；
（2）兩個連續(xù)的偶數(shù)為2k和2k+2（其中k為非負數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)，
理由如下：
（2k+2）²-（2k）²=8k+4=4（2k+1），
兩個連續(xù)的偶數(shù)為2k和2k+2（其中k為非負數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)；
（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）不是“神秘數(shù)”，理由如下：
（2k+1）²-（2k-1）²=8k，又神秘數(shù)為4的倍數(shù)，而不是8的倍數(shù)；
故兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）不是“神秘數(shù)”．

點評 本題考查了平方差公式，利用平方差公式是解題關(guān)鍵．