Question

4．如圖，已知菱形ABCD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=10，AC=16．點(diǎn)P在AO上，點(diǎn)Q在DO上，且AP=2OQ．
（1）求線段OD的長；
（2）若PQ=BQ，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理直接計(jì)算即可求出OD的長；
（2）設(shè)OQ=x，則AP=2x，OP=8-2x，PQ=BQ=6+x．利用勾股定理可得OP²+OQ²=PQ²，即（8-2x）²+x²=（6+x）² 解方程求出x的值，進(jìn)而可求出AP的長．

解答 解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB=10，AO=$\frac{1}{2}$AC=8，AC⊥BD．
∴在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=6．
（2）設(shè)OQ=x，則AP=2x，OP=8-2x，PQ=BQ=6+x．
∵在Rt△POQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（8-2x）²+x²=（6+x）²          
解得：x₁=$\frac{11+\sqrt{93}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{11-\sqrt{93}}{2}$．
∴AP=2×$\frac{11-\sqrt{93}}{2}$=11-$\sqrt{93}$．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及一元二次方程的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．