Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作CD⊥AB，交⊙O于點(diǎn)C，D，現(xiàn)有下列結(jié)論：①若⊙O的半徑是2，點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，則CD=2$\sqrt{3}$；②若CD=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，則⊙O的半徑是2；③若∠CAB=30°，則四邊形OCBD是菱形；④若四邊形OCBD是菱形，則∠CAB=30°，其中正確結(jié)論的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可得到CD=2CE=2$\sqrt{3}$，由CD⊥AB，得到∠CEO=90°，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理即可得到OC=2，根據(jù)圓周角定理得到∠COB=60°，推出△COB是等邊三角形，得到BC=OC，于是得到OC=OD=BC=BD，根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形OCBD是菱形；根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OC=BC，推出OC=OB=BC，得到∠BOC=60°，根據(jù)圓周角定理即可得到即可．

解答 解：①∵OC=OB=2，
∵點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，
∴OE=1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO=90°，CD=2CE，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=2$\sqrt{3}$，故正確；
②∵CD⊥AB，
∴∠CEO=90°，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OC，
∵OE²+CE²=OC²，
∴（$\frac{1}{2}$OC）²+（$\sqrt{3}$）²=OC²，
∴OC=2，故②正確；
③∵∠A=30°，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△COB是等邊三角形，
∴BC=OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴BC=BD，
∴OC=OD=BC=BD，
∴四邊形OCBD是菱形；故③正確；
④∵四邊形OCBD是菱形，
∴OC=BC，
∵OC=OB，
∴OC=OB=BC，
∴∠BOC=60°，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}∠$BOC=30°，故④正確．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理，垂徑定理，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．