Question

14．如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△CDE是等邊三角形，連接AE交BD于點(diǎn)F．求證：
（1）AF=2OF．
（2）FE=FB．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)證明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE=∠DEA，再求出∠OAF=30°，在直角三角形OAF中即可得出結(jié)論；
（2）連接BE，證明∠FBE=∠AEB，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，DC=DE，∠CDE=∠DEC=60°，∠DAC=45°，AC⊥BD，
∴AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，∠AOD=90°，
∴∠DAE=∠DEA=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°，∠OAF=45°-15°=30°，
∴AF=2OF；
（2）連接BE，如圖所示：
由（1）：∠DEA=15°，∠OAF=30°，
同理得：∠CEB=15°，∠FBE=30°，
∴∠AEB=60°-15°-15°=30°，
∴∠FBE=∠AEB，
∴FE=FB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定方法；根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)弄清各個(gè)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．