Question

4．如圖，直線y=2x+2與直線y=-2x+6交于點(diǎn)P，它們分別與x軸交于A，B．
（1）求點(diǎn)A、B，及兩直線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由兩函數(shù)解析式可求得A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立兩解析式解方程組可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)AB為邊時(shí)，由PQ∥AB且PQ=AB，則容易求得D點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，由條件可知PC⊥AB，則可求得PC的長(zhǎng)，由平行四邊形的性質(zhì)可求得CQ的長(zhǎng)，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=2x+2中，令y=0可求得x=-1，在y=-2x+6中，令y=0可求得x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
聯(lián)立兩直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴P（1，4）；

（2）①當(dāng)AB為邊時(shí)，
∵以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴AB∥PQ，且AB=PQ，
∵P（1，4），
∴Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，且PQ=AB=4，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4）或（5，4）；
②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，如圖，

由題意可知PC垂直平分AB，
∴CQ=PC=4，
∴Q（1，-4）；
綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，4）或（5，4）或（1，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、平行四邊形的性質(zhì)及分類(lèi)討論思想等知識(shí)．在（1）中注意函數(shù)圖象的交點(diǎn)的求法，在（2）中確定出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．