Question

12．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A左B右），交y軸于點(diǎn)C，直線y=x分別交拋物線于D、E，連接BD，且OD=4$\sqrt{2}$，OB=4
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為線段BD上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線DE于N．設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，線段PN的長(zhǎng)為d，求d與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥DE，垂足為G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BD，垂足為H，若GH=GP．求點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先確定D、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）利用方程組求出點(diǎn)E坐標(biāo)，分兩種情形即可解決問(wèn)題；
（3）延長(zhǎng)PG交BD于F，作PM∥y軸交BD于M，GN∥y軸交BD于N，交AB于K．由△OBG是等腰三角形，易知G（2，2），直線BD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，首先證明PM=2GN，易知N（2，-1），GN=3，推出PM=6=（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6）-（$\frac{1}{2}$m-2）=6，解方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵D在直線y=x上，OD=4$\sqrt{2}$，
∴D（-4，-4），
∵OB=4，
∴B（4，0），
把D（-4，-4），B（4，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{-8-4b+c=-4}\\{-8+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+6．

（2）由題意P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6），N（m，m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴E（3，3），
①當(dāng)-4＜m≤3時(shí)，d=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6-m=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m+6，
②當(dāng)3＜m＜4時(shí)，d=m-（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6）=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m-6，

（3）延長(zhǎng)PG交BD于F，作PM∥y軸交BD于M，GN∥y軸交BD于N，交AB于K．
∵D（-4，-4），B（4，0），
∵△OBG是等腰三角形，易知G（2，2），
直線BD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∵PG=GH，
∴∠GPH=∠GHP，
∵∠GPH+∠PFH=90°，∠GHF+∠GHP=90°，
∴∠GHF=∠GFH，
∴HG=GP=FG，
∵GN∥PM，
∴MN=FM，
∴PM=2GN，
易知N（2，-1），GN=3，
∴PM=6=（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6）-（$\frac{1}{2}$m-2）=6，
解得m=2或-2，
∴P（2，5）或（-2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．