Question

9．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CE=2DE．G為BC上的一點，將△ADE沿AE對折至△AFE，同時將△ABG沿AG對折至△AFG，連接CF．
（1）求∠AEC+∠AGC的度數(shù)；
（2）求證：BG=GC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)求得∠GAE=45°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠AEC+∠AGC=360°-∠GAE-∠BCD=225°；
（2）在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠BAD=∠BCD=90°，
由對折可知：∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
四邊形AGCE中，∠AEC+∠AGC=360°-∠GAE-∠BCD=225°；
（2）∵AB=DC=6，CE=2DE，
∴CE=4，DE=2，
設BG=FG=x，則CG=6-x．
∵DE=EF=2，
在Rt△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3，CG=6-3=3；
∴BG=GC．

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．