Question

3．若拋物線y=ax²+bx+c上有兩點A，B關于原點對稱，則稱它為“完美拋物線”．
（1）請猜猜看：拋物線y=x²+x-1是否是“完美拋物線”？若猜是，請寫出A，B坐標，若不是，請說明理由；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c是“完美拋物線”與y軸交于點C，與x軸交于（-$\frac{c}{2}$，0），若S_△ABC=$\frac{{c}^{2}}$，求直線AB解析式．

Answer 1

分析 （1）首先設A點的坐標是（m，n），根據(jù)A，B關于原點對稱，判斷出B點的坐標是（-m，-n）；然后根據(jù)A，B都是拋物線y=x²+x-1上的點，求出m、n的值各是多少，判斷出拋物線y=x²+x-1是“完美拋物線”，并寫出A，B坐標即可．
（2）首先根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c上有兩點A，B關于原點對稱，可得直線AB經(jīng)過原點，設直線AB解析式是：y=kx；設點A的坐標是（p，q），則B點的坐標是（-p，-q）；然后根據(jù)A、B都是拋物線y=x²+x-1上的點，拋物線與x軸交于（-$\frac{c}{2}$，0），可得2b-ac=4；最后根據(jù)S_△ABC=$\frac{{c}^{2}}$，求出b的值是多少，進而判斷出直線AB的斜率是多少，求出直線AB解析式即可．

解答 解：（1）設A點的坐標是（m，n），
∵A，B關于原點對稱，
∴B點的坐標是（-m，-n），
∵A，B都是拋物線y=x²+x-1上的點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m-1=n…①}\\{{（-m）}^{2}-m-1=-n…②}\end{array}\right.$，
解得m=1或m=-1，
①當m=1時，
n=1²+1-1=1，
②當m=-1時，
n=（-1）²-1-1=-1，
∴拋物線y=x²+x-1是“完美拋物線”，
A（1，1）、B（-1，-1）或A（-1，-1）、B（1，1）．

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c上有兩點A，B關于原點對稱，
∴直線AB經(jīng)過原點，
∴設直線AB解析式是：y=kx，
設點A的坐標是（p，q），
則B點的坐標是（-p，-q），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{ap}^{2}+bp+c=q}\\{a{•（-p）}^{2}+b•（-p）+c=-q}\end{array}\right.$，
∴ap²+c=0，
∴bp=q，
∴${p}^{2}=-\frac{c}{a}$，
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于（-$\frac{c}{2}$，0），
∴$a{•（-\frac{c}{2}）}^{2}+b•（-\frac{c}{2}）+c=0$，
∴2b-ac=4，
∵點C的坐標是（0，c），
∴|$\frac{1}{2}$cp×2|=$\frac{{c}^{2}}$，
∴${{c}^{2}p}^{2}=\frac{{c}^{4}}{^{2}}$，
∴p²=$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$，
又∵${p}^{2}=-\frac{c}{a}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{^{2}}=-\frac{c}{a}$，
∴b²=-ac，
又∵2b-ac=4，
∴b²+2b-4=0，
∴b=-1$±\sqrt{5}$，
∵S_△ABC=$\frac{{c}^{2}}$＞0，
∴b＞0，
∴b=$\sqrt{5}$-1，
又∵bp=q，
∴$\frac{q}{p}=b=\sqrt{5}-1$，
即直線AB的斜率是：k=$\sqrt{5}-1$，
∴直線AB解析式是：y=（$\sqrt{5}$-1）x．

點評 （1）此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，以及對“完美拋物線”的含義的理解，要熟練掌握．
（2）此題還考查了直線的解析式的求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是求出直線AB的斜率是多少．