Question

18．已知：如圖△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上．請(qǐng)證明：
（1）△CBD≌△CAE；
（2）∠ADB=90°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，于是得到2AC²=AB²，∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，求得∠ACE=∠BCD．根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，∠E=∠BDC．求得∠BDC=45°，于是得到∠BDC+∠ADC=90°，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，
EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²，∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CAE；


（2）∵△CBD≌△CAE，
∴AE=BD，∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．